Die räumliche Stochastik entwickelt mathematische Methoden für die Analyse, Statistik und die Simulation zufälliger räumlicher Phänomene. Sie besitzt z.B. Anwendungen in der Physik, den Materialwissenschaften, der Medizin, oder der mobilen Telekommunikation. Grundlegende Modelle der räumlichen Stochastik sind zufällige Maße, zufällige (z.B. Gaußsche) Felder, (geometrische) Punktprozesse und zufällige Mosaike. Zufällige Punktprozesse und Maße bilden einen Schwerpunkt des Forschungsbereiches. Hier geht es zum Beispiel um Invarianzeigenschaften der Charakteristika stationärer zufälliger Maße auf homogenen oder auch allgemeineren Räumen, die einer Gruppenwirkung unterworfen sind. Die Stochastische Geometrie bildet den zentralen Schwerpunkt des Forschungsbereiches. Im Fokus des Interesses stehen dabei die Modellierung und Verteilungsanalyse von Punktprozessen konvexer (und allgemeinerer) Mengen sowie von geometrisch definierten zufälligen Maßen. Einige Mitglieder der Forschungsrichtung beschäftigen sich mit der Konvex- und Integralgeometrie, einem sehr wichtigen mathematischen Standbein der Stochastische Geometrie. Hier werden etwa Krümmungs- und Stützmaße kompakter Mengen, additive Funktionale (z.B. Tensorvaluationen) und die zugehörigen integralgeometrischen Formeln untersucht.

Für weitere Motivation und Vorlesungen zu Themen der Arbeitsgruppe siehe unter Lehre in der AG

Gegenstand der stochastischen Geometrie ist die mathematische Modellierung und Analyse zufälliger räumlicher geometrischer Strukturen. Grundlegende Beispiele solcher Strukturen sind durch Punktprozesse erzeugte Voronoi Mosaike, zufällige Systeme überlappender und nichtüberlappender konvexer Körper (Boolesche Modelle, Systeme harter Kugeln, Packungen) oder die Exkursions- bzw. Niveaumengen Gaußscher Zufallsfelder. Die stochastische Geometrie benutzt und entwickelt ein breites Spektrum mathematischer Techniken aus der Konvex- und Integralgeometrie, der Wahrscheinlichkeitstheorie, der fraktalen Geometrie und der geometrischen Maßtheorie.

Es gibt zahlreiche interessante Anwendungen der stochastischen Geometrie, wie z.B. in der Physik (physikalische Eigenschaften ungeordneter Systeme), den Materialwissenschaften (statistische Modellierung von Mikrostrukturen), Medizin (stereologische Analyse von Schnitten räumlicher Faserprozesse), Astronomie (Verteilung der Galaxien) und der mobilen Telekommunikation (hierarchische Netzwerke).

Die Forschungsgruppe in Karlsruhe befasst sich insbesondere mit Projekten zu zufälligen Mosaiken, Booleschen Modellen, Krümmungsmaßen und deren Anwendungen, zufälligen Polytopen, Kontaktverteilungen zufälliger Mengen und geometrischen Punktprozessen.

Punktprozesse und zufällige Maße sind in der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie und ihren Anwendungen allgegenwärtig. Beispiele sind Ankunfts- und Abgangsprozesse stochastischer Netzwerke, geometrische Punktprozesse von Partikeln und Ebenen, aber auch die lokale Zeit der Brownschen Bewegung und ihr Inverses. Ein Schwerpunkt unserer Forschung ist das Zusammenspiel zwischen invarianten Transporten zufälliger Maße und Palmschen Maßen. Die zugrundeliegenden Prinzipien stationärer zufälliger Maße sind sehr allgemein und können auf Zustandsräume angewendet werden, die der Wirkung einer Gruppe unterworfen sind. Spezielle Untersuchungsgenstände sind das Massentransportprinzip, Massenstationarität zufälliger Maße und Invarianzeigenschaften der Brownschen Bewegung und anderer zufälliger Prozesse und Felder.

Ein anderer Schwerpunkt unserer Forschung ist die auf iterierten Differenzenoperatoren basierende Fock-Raum Darstellung von Funktionalen allgemeiner Poissonprozesse. Diese Darstellung hat interessante Konsequenzen für die Chaoszerlegung und die Martingaltheorie Poissonscher Funktionale. Momentan benutzen wir die Fock-Raum Darstellung als geeigneten Zugang zu einer allgemeinen Theorie für die Perturbation Poissonscher Prozesse und deren Anwendungen auf Levy-Prozesse und stetige Perkolation.

Konvexe Geometrie und Integralgeometrie sind mit verschiedenen mathematischen Gebieten wie Funktionalanalysis, Optimierung und Diskreter Geometrie eng verbunden, insbesondere mit der Stochastischen Geometrie. Die klassische Integralgeometrie untersucht Integralmittel von geometrisch relevanten Funktionalen bezüglich der vollen Bewegungsgruppe. Die stochastische Modellierung aktueller Anwendungsprobleme motiviert die Untersuchung allgemeinerer Gruppenoperationen. Dies führt insbesondere zur translativen Integralgeometrie. Im Rahmen der Konvexen Geometrie spiegeln sich diese Entwicklungen in der Untersuchung von neuen geometrischen Funktionalen wieder. Ein zentrales Thema der Arbeitsgruppe sind geometrische und funktionale Ungleichungen und deren Stabilität. Ein weiterer Schwerpunkt ist die Analyse inverser geometrischer Probleme. Informationen über ein geometrisches Objekt liegen häufig in Form einer Integraltransformation, als Projektions- oder Schnittinformationen vor. Eine wichtige Aufgabe ist daher die Bestimmung und Rekonstruktion von Informationen über das zugrunde liegende Objekt. Geometrische Resultate werden in einer Reihe von Untersuchungen der Arbeitsgruppe zur Stochastischen Geometrie benötigt, insbesondere bei der Analyse von geometrischen Punktprozessen, zufälligen Mosaiken und zufälligen Polytopen.